Vergelijkingen » Kwadratische vergelijkingen met een parameter
Kijk eventueel bij de theorie over kwadratische vergelijkingen.
Hier staat ook uitleg over de abc-formule en de discriminant (D = b2 – 4ac).
In de sommen hier uitgelegd, moet je altijd berekenen voor welke p de vergelijking of formule van een parabool één punt gemeen (meestal een raakpunt) heeft met de horizontale as of een andere grafiek.
Bij één punt gemeen geldt dat de dicriminant nul moet zijn (D = 0).
Herleid indien nodig het (rechter)lid van je vergelijking naar nul en stel daarna de vergelijking op voor de discriminant.
Voorbeeld 1
Bereken voor welke waarde(n) van p de functie f (x) = 2x2 + 5x + p een raakpunt heeft met de horizontale as.
Antwoord:
2x2 + 5x + p = 0
Stel nu de vergelijking op voor D = 0.
| b2 – 4ac | = 0 |
| 52 – 4 · 2 · p | = 0 |
| 25 – 8p | = 0 |
| –8p | = –25 |
| p | = 318 |
Voorbeeld 2
Bereken voor welke waarde(n) van p de functies f (x) = 4,5x2 + px en g(x) = –2 een raakpunt hebben.
Antwoord:
4,5x2 + px = –2
4,5x2 + px + 2 = 0
Stel nu de vergelijking op voor D = 0.
| b2 – 4ac | = 0 |
| p2 – 4 · 4,5 · 2 | = 0 |
| p2 – 36 | = 0 |
| p2 | = 36 |
| p = –6 | of p = 6 |
Voorbeeld 3
Bereken voor welke waarde(n) van p de functies f (x) = –x2 + 2x + 1,5 en g(x) = –4x + p een raakpunt hebben.
Antwoord:
–x2 + 2x + 1,5 = –4x + p
–x2 + 6x + 1,5 – p = 0
Stel nu de vergelijking op voor D = 0. Let op: c = (1,5 – p).
| b2 – 4ac | = 0 |
| 62 – 4 · –1 · (1,5 – p) | = 0 |
| 36 + 4(1,5 – p) | = 0 |
| 36 + 6 – 4p | = 0 |
| 42 – 4p | = 0 |
| 4p | = 42 |
| p | = 10,5 |
Voorbeeld 4
Bereken voor welke waarde(n) van p de grafiek van functie f (x) = –2x2 + px – 3 geheel onder de x-as ligt.
Antwoord:
Je wilt nu GEEN snijpunt hebben. Je gaat dus oplossen D < 0.
–2x2 + px – 3 = 0 (Eigenlijk < 0 omdat de grafiek kleiner moet zijn dan 0)
Stel nu de vergelijking op voor D < 0.
| b2 – 4ac | < 0 |
| p2 – 4 · –2 · –3 | < 0 |
| p2 – 24 | < 0 |
| p2 | < 24 |
– < | p < |
Kijk bij kwadratische ongelijkheden.
Voorbeeld 5
Bereken voor welke waarde(n) van p de vergelijking px2 + px – 2x + 4p = 0 precies één oplossing heeft.
Antwoord:
Schrijf de vergelijking eerst in de vorm ax2 + bx + c = 0.
px2 + px – 2x + 4p = 0
px2 + (p – 2)x + 4p = 0
Stel nu de vergelijking op voor D = 0.
| b2 – 4ac | = 0 |
| (p – 2)2 – 4 · p · 4p | = 0 |
| (p – 2)(p – 2) – 16p2 | = 0 |
| p2 – 4p + 4 –16p2 | = 0 |
| –15p2 –4p + 4 | = 0 |
| D = (–4)2 – 4 · –15 · 4 = 256 | |
p = –(–4) +  2 · –15 | of p = –(–4) – 2 · –15 |
| p = – 23 | of p = 25 |