Vergelijkingen » Kwadratische vergelijkingen (x² = getal / som-product-methode / abc-formule)

Herkennen:

Kwadratische vergelijkingen zijn in te delen in drie categorieën.
Elke categorie heeft zijn eigen manier van oplossen.

Categorie:	Voorbeelden:
Herleidbaar tot x2 = getal	x2 = 25 of x2 – 7 = 2
Herleidbaar tot tweeterm = 0	5x2 – x = 0 of 3x2 + 5x = x2 – 7x
Herleidbaar tot drieterm = 0	5x2 – 4x + 3 = 0 of 3x2 = 2x2 + 4x + 12

Direct naar de theorie:

– Ontbinden in factoren (Som-product-methode)
– Abc-formule
– Kwadraat afsplitsen
– Top berekenen
– Vorm van de parabool
– Berekenen van de snijpunten met de assen
– Kwadratische vergelijkingen met een parameter
– Nog zes voorbeelden (alles door elkaar)

x² = getal

Los je gewoon op met de balansmethode of met de bordjesmethode.
Zorg dat je x² aan een kant krijgt en trek daarna de wortel.
LET OP: ER ZIJN MEESTAL TWEE OPLOSSINGEN!

Voorbeeld 1 x2 = 25  x =   of x = – x = 5  of x = –5	Voorbeeld 2 x2 + 7  = 2  x2  = –5  bestaat niet: geen oplossingen
Voorbeeld 3 –2x2 + 1  = –97  –2x2  = –98  x2  = 49  x =   of x = – x = 7  of x = –7	Voorbeeld 4 (x + 3)2 + 5  = 86  (x + 3)2  = 81  x + 3 = –  of x + 3 =  x + 3 = –9  of x + 3 = 9 x = –12  of x = 6

Tweeterm = 0

Maak het rechterlid nul en ontbindt in factoren (enkele haakjes). Er geldt na het ontbinden in factoren, dat óf de linkerfactor óf de rechterfactor nul moet zijn.

Voorbeeld 1 5x2 – x  = 0  x(5x – 1)  = 0 x = 0 of  5x – 1 = 0 x = 0 of  5x = 1 x = 0 of  x = 15

Voorbeeld 2 3x2 + 5x  = x2 – 7x 2x2 + 12x  = 0  2x(x + 6)  = 0 2x = 0  of x + 6 = 0 x = 0  of x = –6

Drieterm = 0

Maak het rechterlid nul en ontbindt in factoren (dubbele haakjes) met de som-product-methode. Als dat niet lukt, gebruik je de abc-formule of splits je het kwadraat af.

Voorbeeld 1 2x2 + 4x + 12  = 3x2 –x2 + 4x + 12  = 0 x2 – 4x – 12  = 0 (x + 2)(x – 6)  = 0 x + 2 = 0  of x – 6 = 0 x = –2  of x = 6

Voorbeeld 2 5x2 – 4x – 3 = 0 a = 5,  b = –4,  c = –3 D = (–4)2 – 4 · 5 · –3 = 76 x = –(–4) + 2 × 5 of  x = –(–4) – 2 × 5 x ≈ 1,27 of  x ≈ –0,47

Ontbinden in factoren

Enkele haakjes (tweetermen)

Je zoekt in beide termen naar de grootste gemeenschappelijke factor.
Die zet je voor de haakjes neer.
Je ontbonden formule is dus altijd van de vorm y = …(… + …) of y = …(… – …).
Zo zit in beide termen van de formule y = 6x² + 15x de factor 3x.
De formule is immers te schrijven als y = 2 × 3 × x × x + 3 × 5 × x.
Je kan deze formule ontbonden in factoren dus schrijven als y = 3x(2x + 5).

De som-product-methode (drietermen)

Voorkennis: een som is het antwoord van een optelling.
Voorkennis: een product is het antwoord van een vermenigvuldiging.
De som-product-methode kan alleen toegepast worden bij een drieterm
in de vorm x² + bx + c = 0 (dus a = 1).
Je zet onder de drieterm dubbele haakjes: (x … …)(x … …) = 0
Je vult achter de x op de open plaatsen de twee getallen in die opgeteld b zijn en vermenigvuldigd c zijn. Schrijf een + voor positieve getallen.

Voorbeeld 1 x2 + 5x + 6 = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 x = –3 of x = –2		Voorbeeld 2 x2 – 6x + 9 = 0 (x – 3)(x – 3) = 0  x = 3
Voorbeeld 3 15x2 + 15x – 6 = 0 a = 1 krijgen door elke term keer 5 te doen   x2 + x – 30 = 0 (x – 5)(x + 6) = 0  x = 5 of x = –6		Voorbeeld 4 5x2 + 25x – 70 = 0 a = 1 krijgen door elke term te delen door 5  x2 + 5x – 14 = 0 (x – 2)(x + 7) = 0  x = 2 of x = –7

Kijk als je het bovenstaande nog niet helemaal begrijpt bij de iets uitgebreidere theorie over ontbinden in factoren.

Abc-formule

De abc-formule wordt ook wel de wortelformule genoemd.
Deze formule kan je voor elke kwadratische vergelijking gebruiken, hij kost echter ook het meeste werk. Gebruik hem daarom alleen voor drietermen die niet ontbonden kunnen worden in factoren.

De vergelijking moet ook hier in de vorm ax² + bx + c = 0 staan.
Je bepaalt welke getallen je hebt voor a, b en c. Let op met negatieve getallen!

Hiermee ga je eerst de Discriminant berekenen, hiervoor gebruik je:
D = b² – 4ac
Als D negatief is, heb je 0 oplossingen. 
Als D nul is, heb je 1 oplossing.
Als D positief is, heb je 2 oplossingen.

Als D niet negatief is, gebruik je de volgende twee formules om x te berekenen.
x = –b + 2a of x = –b – 2a

Let op! Op je rekenmachine komt dit er bijvoorbeeld zo uit te zien:
(–b + ) / (2 × a)

Wil je weten hoe men aan deze formules komt?
Kijk dan bij afleiding abc-formule.

Voorbeeld 2 hierboven bij 'Drieterm = 0' en voorbeeld 6 helemaal onderaan de pagina zijn twee voorbeelden van de abc-formule.

Kwadraat afsplitsen

Je kunt een kwadratische vergelijking ook oplossen door het kwadraat af te splisten. Het is echter niet nodig om deze manier te kennen, je kunt immers elke kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule. Kijk bij kwadraat afsplitsen voor de theorie en een aantal voorbeelden van hoe je een kwadratische vergelijking oplost met behulp van het kwadraat afsplitsen.

Top berekenen

Gebruik x_top = –b2a.
Om y_top te berekenen vul je de gevonden x_top in in de formule.

Kijk bij toppen van parabolen voor meer informatie.

Vorm van de parabool

Wordt volledig bepaald door a.
Als a = positief krijg je een dalparabool
Als a = negatief krijg je een bergparabool
Des te groter het verschil tussen a en nul is, des te smaller de parabool is.

Berekenen van de snijpunten met de assen

Om het snijpunt met de y-as te berekenen, bereken je y voor x = 0.
Om de snijpunten met de x-as te berekenen, bereken je x voor y = 0.

Kwadratische vergelijkingen met een parameter

Krijg je een vergelijking zoals:
2x² + 5x + p = 0  of  –x² + 2x  + 1,5 = –4x + p
Kijk dan bij kwadratische vergelijkingen met een parameter.

Nog zes voorbeelden (alles door elkaar)

Voorbeeld 1 x2 – 5  = 31  x2  = 36  x =   of x = – x = 6  of x = –6	Voorbeeld 2 (5 – 2x)2 = 81 5 – 2x =   of 5 – 2x = – 5 – 2x = 9  of 5 – 2x = –9 –2x = 4  of –2x = –14 x = –2  of x = 7
Voorbeeld 3 2x2 =  8x  2x2 – 8x  = 0  2x(x – 4)  = 0 2x = 0 of x  – 4 = 0 x = 0 of x  = 4	Voorbeeld 4 x(x + 2)  = 3 x2 + 2x  = 3 x2 + 2x – 3  = 0 (x + 3)(x – 1)  = 0 x + 3 = 0 of x  – 1 = 0 x = –3 of x  = 1
Voorbeeld 5 (3x – 1)2  = (x – 7)2 3x – 1 = x – 7  of 3x – 1 = –(x – 7)  2x = –6  of 3x – 1 = –x + 7 x = –3  of 4x = 8 x = –3  of x = 2
Voorbeeld 6 x2 + 7x + 9,5  = 19x – 2x2 3x2 – 12x + 9,5  = 0 a = 3,  b = –12,  c = 9,5 D = (–12)2 – 4 × 3 × 9,5 = 30 x = –(–12) + 2 × 3  of x = –(–12) – 2 × 3 x ≈ 2,91  of x ≈ 1,09

Naar boven