Vergelijkingen » Afleiding van de abc-formule

Hieronder staat uitgelegd hoe je de abc-formule kan afleiden. In andere woorden: het bewijs van de abc-formule. Zoek je de uitleg / voorbeelden van het toepassen van de abc-formule? Die staan bij de theorie over kwadratische vergelijkingen.

Hoe ga je te werk?

Elke kwadratische vergelijking kan je in de vorm ax² + bx + c = 0 schrijven. Je wilt weten wat x is, dus zal je al het andere naar de rechterkant van het =-teken moet krijgen. Om dit te bereiken zal je op een moment de wortel moeten trekken aan beide kanten om het kwadraat weg te krijgen.
Alleen x² in het linkerlid te krijgen, gaat niet lukken. Daarom ga je proberen de linkerkant te schrijven als p² + 2pq + q². Met de regel p² + 2pq + q² = (p + q)² krijg je als linkerlid dan een mooie kwadraat waar je de wortel van kan nemen.
Je gaat dus proberen om het linkerlid te schrijven als p² + 2pq + q² om er daarna (p + q)² van te maken. Daarna trek je de wortel aan beide kanten en werk je alles naar rechts behalve de x en vereenvoudig je het rechterlid zo ver mogelijk.

De afleiding

1:	ax2 + bx + c	= 0
2:	ax2 + bx	= –c
3:	x2 + bax	= –ca
4:	x2 + 2b2ax	= –ca
5:	x2 + 2b2ax + b2a	= b2a – ca
6:	x + b2a	= b2a – ca
7:	x + b2a	= b24a2 – 4ac4a2
8:	x + b2a	= b2 – 4ac4a2

9:	x + b2a =	of  x + b2a = –
10:	x = –b2a + 2a	of  x = –b2a – 2a
11:	x = –b + 2a	of  x = –b – 2a

Door b² – 4ac te vervangen door D krijg je (D = Discriminant):

x = –b + 2a  of  x = –b – 2a  (met D = b² – 4ac)

Uitleg van de stappen

1:	Startvergelijking.
2:	Aan beide kanten – c doen.
3:	Alles delen door a.
4:	De breuk ba herschrijven naar 2b2a zodat je 2pq krijgt als tweede term.
5:	Aan beide kanten + b2a doen zodat je q2 krijgt als derde term.
6:	Toepassen van p2 + 2pq + q2 = (p + q)2.
7:	Vereenvoudig b2a en ca gelijknamig maken naar 4a2.
8:	Breuk samennemen.
9:	Worteltrekken aan beide kanten. Let op je krijgt twee mogelijke oplossingen.
10:	Aan beide kanten – b2a en toepassen in het rechterlid.
11:	Eindantwoord.