Formules, grafieken en verbanden » Toppen van parabolen  

Inhoud

Vooraf: hoe bereken je y_top?
Symmetrie
x_top = –b(2a)
Hoe komt men aan de formule x_top = –b(2a)?
Redeneren, bepalen van (p, q) met de formule

Vooraf: hoe bereken je y_top?

In onderstaande uitleg wordt uitgebreid stil gestaan bij het berekenen van x_top.
Om y_top te berekenen moet je eerst x_top berekenen.
Zodra je x_top weet, kan je de x_top invullen in de formule/functie om y_top te berekenen.
In functie notatie: y_top = f (x_top).

Symmetrie

Als je van een parabool twee punten weet die op dezelfde hoogte liggen, dan ligt x_top daar precies tussen in.

De kwadratische formule y = (x – α)(x – β) snijdt de x-as in α en β.
Dus x_top = α + β2 = het midden tussen α en β.

Je hoeft niet per se de snijpunten met de x-as te nemen. Het kan ook met de snijpunten van de parabool met bijvoorbeeld y = 5. Die liggen immers ook op dezelfde hoogte. De top ligt daar precies tussen in.

Voorbeeld 1
Van een parabool is bekend dat het de punten (4, 13) en (12, 13) heeft. Wat is x_top?

Antwoord:
De symmetrieas moet precies tussen x = 4 en x = 12 liggen,
x_top ligt op deze symmetrieas.
Dus x_top = 4 + 122 = 8.

Voorbeeld 2
Bereken de coördinaten van de top van de parabool die hoort bij y = 2(x + 3)(x – 7).

Antwoord:
Je kan aan de formule zien dat de grafiek de x-as snijdt bij x = –3 en x = 7.
Zie je dit niet? Los dan de vergelijking 2(x + 3)(x – 7) = 0 op.
x_top = –3 + 72 = 2
y_top = 2(2 + 3)(2 – 7) = –50.
Coördinaten zijn dus (2, –50).

x_top = –b(2a)

Van de grafiek van de formule y = ax² + bx + c met a ≠ 0 is de x-coördinaat van de top te berekenen met de formule:
x_top = –b2a

Voorbeeld 1
Gegeven is de formule y = –4x² + 8x – 5.
Bereken de coördinaten van de top van de bijbehorende parabool.
Antwoord:
x_top = –82 × –4 = 1
y_top = –4 × 1² + 8 × 1 – 5 = –1.
Coördinaten zijn (1, –1).

Voorbeeld 2
Gegeven is de formule y = 2x² + px + 3 waarvan het minimum 1 is.
Bereken p algebraïsch.

Antwoord:
Stel eerst de formule op voor x_top.
x_top = –p2 × 2 = –14p

Als we –14p invullen voor x in de formule dan moet de uitkomst het minimum 1 zijn.
Bedenk dat het minimum van de parabool dus de top van de parabool is.
Daar kunnen we de volgende vergelijking bij opstellen en oplossen:

2 × (–14p)2 + p × –14p + 3	= 1
2 × 116p2 + –14p2 + 3	= 1
18p2 – 14p2 + 3	= 1
–18p2 + 3	= 1
18p2	= –2
p2	= 16
p = –4	of p = 4

Hoe komt men aan de formule x_top = –b(2a)?

Iedere kwadratische vergelijking is te schrijven als ax² + bx + c = 0.
Echter heeft die vergelijking niet altijd een oplossing. De vergelijking ax² + bx + c = c heeft wel altijd twee oplossingen. Er is immers altijd een snijpunt met de verticale as. Bij het eerste puntje op deze pagina heb je geleerd dat we door symmetrie de top kunnen bepalen. We moeten dus van de uitkomsten van de vergelijking het gemiddelde nemen.

ax2 + bx + c	= c
ax2 + bx	= 0
x(ax + b)	= 0
x = 0 of ax	+ b	= 0
	ax	= –b
	x	= –ba

Nu nemen we het gemiddelde van deze twee punten die op dezelfde hoogte liggen.
x_top = 0 + –ba2 = –ba2 = –b2a

Redeneren, bepalen van (p, q) met de formule

Van de grafiek van de kwadratische formule y = a(x – p)² + q met a ≠ 0 is het punt (p, q) de top van de grafiek.
Tussen de haakjes van het kwadraat moet je 0 krijgen. Daar ligt de top.
Omdat p – p = 0 ligt de top bij x = p.

Voorbeeld 1
Gegeven is f (x) = 2(x – 3)² – 4.
Geef de coördinaten van de top.

Antwoord:
p = 3 en q = –4 dus de top is (3, –4).

Voorbeeld 2
Gegeven is f (x) = 7(3x + 9)² + 8.
Geef de coördinaten van de top.

Antwoord:
p is nu wat lastiger te bepalen. Je moet daarvoor 3x + 9 = 0 oplossen.

3x + 9	= 0
3x	= –9
x	= –3

p = –3 en q = 8 dus de top is (–3, 8).

Naar boven