Meetkunde » Coördinaten

Inhoud

2D-coördinaten
3D-coördinaten
Cartesisch coördinatenstelsel
Poolcoördinaten
Bolcoördinaten

2D-coördinaten

Hier rechts is een afbeelding van een assenstelsel te zien met een aantal punten daarin getekend.
De horizontale coördinaat wordt altijd eerst afgelezen. In dit geval is dat de x-as. Daarna wordt de verticale coördinaat afgelezen. In dit geval is dat de y-as.

Deze twee coördinaten worden altijd gescheiden door een komma. Coördinaten zijn dus altijd van de vorm (x, y). Als het punt een naam heeft (een hoofdletter) dan wordt deze direct voor het eerste haakje geschreven. Gebruik geen tekens tussen de hoofdletter en het eerste haakje.

De eerste vijf punten in dit assenstelsel hebben de volgende coördinaten:

A(2, 0)

B(2, 4)

C(5, 2)

D(7, 0)

E(0, 7)

Kommagetallen

Als een punt halverwege een hokje ligt, kan de x-coördinaat bijvoorbeeld 1,5 zijn. Gebruik dan een puntkomma in plaats van de komma voor het scheidingsteken tussen de twee coördinaten. Een andere oplossing is gebruik maken van een breuk.

De andere twee punten in dit assenstelsel hebben de volgende coördinaten:

F(6,5; 5) of F(612, 5)

G(4,5; 6,5) of G(412, 612)

Noot: De puntkomma mag ook gebruikt worden als er geen kommagetallen zijn.

3D-coördinaten

Net zoals punten in een normaal assenstelsel kunnen worden aangegeven, kan je ook punten aangeven in de ruimte. Dit kan met een 3D-assenstelsel.

Het enige dat hiervoor nodig is, is een extra as. Deze as is de z-as. Met deze as erbij, is er sprake van een xyz-stelsel. Dit is te zien in de tekening rechts.

Als nu een punt moet worden aangeven op de kubus, dan wordt dit (bijna) hetzelfde gedaan als wanneer een punt wordt aangeven in een normaal assenstelsel. De coördinaten komen weer tussen haakjes, gescheiden door een komma ( , , ) of een puntkomma ( ; ; ).

De coördinaten worden geschreven in de volgorde: (x , y , z).

Punt E aangegeven met coördinaten is: E(4, 0, 4)
Dat betekent dat eerst 4 stappen over de x-as naar voren gegaan wordt. Vervolgens wordt er 0 stappen over de y-as naar rechts gegaan. Dan wordt er 4 stappen over de z-as omhoog gegaan. Punt E is daarmee bereikt.

Cartesisch coördinatenstelsel

De bovenstaande manieren om coördinaten te gebruiken noem je cartesische coördinaten. Ze zijn genoemd naar het cartesische coördinatenstelsel waarin ze worden toegepast.
In plaats van cartesisch wordt ook wel cartesiaans of rechthoekig gebruikt.
Het coördinatenstelsel / assenstelsel is orthogonaal. Dat wil zeggen dat de afstand tussen de opeenvolgende coördinaatlijnen gelijk is.

Andere vormen van coördinatenstelsels zijn die met scheve assen of poolcoördinaten. Het 3D-systeem van poolcoördinaten worden bolcoördinaten genoemd. Deze worden hieronder uitgelegd.

Poolcoördinaten

De plaats in een vlak kan ook door middel van poolcoördinaten worden aangegeven.
Als basis geldt weer een punt O. Deze noemen we de pool.
Daarnaast is er een poolas die vanuit de pool naar rechts loopt.

Poolcoördinaten hebben de vorm (r, θ).
r staat voor de afstand tot de pool.
θ (theta) staat voor de hoek vanaf de poolas.

Andere tekens:
In plaats van r wordt ook wel de ρ (rho) gebruikt.
In plaats van θ wordt ook wel de φ (phi) gebruikt.

Stel dat de afstand OA = 5 en de hoek tussen de poolas en OA 54° is dan zijn de poolcoördinaten van punt A(5, 54°).
Aan het gradentekentje kan je zien dat het hier om poolcoördinaten gaat.
Werk je in radialen? Dan heb je meestal een kommagetal of π.

Hieronder vind je punt A(5, 54°), B(4, 114°) en C(3, 213°)

    

Omrekenen tussen poolcoördinaten en cartesische coördinaten

Poolcoördinaten naar cartesische coördinaten:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)

Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten:
r =
θ = tan^-1yx
Soms wordt tan^-1 ook wel geschreven als arctan.

Let op: tan^-1 geeft alleen uitkomsten tussen –90° en 90° of –12π en 12π radialen.
Je zult dus het een en ander aan rekenwerk moeten doen als x niet positief is.

x ≤ 0	graden	radialen
x = 0 en y > 0	90°	12π
x = 0 en y < 0	270° of –90°	112π of –12π
x < 0 en y = 0	180°	π
x < 0 en y > 0	+ 180°	+ π
x < 0 en y < 0	– 180°	– π

Grafische rekenmachine

Op de grafische rekenmachine zit het omrekenen meestal als functie.
Op de Texas Instruments zitten in het menu ANGLE de functies:
R►Pr(     R►Pθ(     P►Rx(     P►Ry(

De R staat voor 'Rectangular', dat zijn de cartesische coördinaten.
Achter het haakje komen de (pool)coördinaten die je wilt omrekenen, uiteraard gescheiden door een komma.

Bolcoördinaten

Bolcoördinaten vormen het driedimensionale systeem van de poolcoördinaten.

De bolcoördinaten hebben de vorm (r, φ, θ).
r staat voor de afstand tot de pool.
φ staat voor de hoek van OA
met de positieve z-as.
θ staat voor de hoek in het xy-vlak.

Bij natuurkunde is het gebruikelijk dat φ en θ omgewisseld worden ...
Ook dan is de tweede coördinaat de hoek van OA met de positieve z-as, dus op zich geen probleem.

Omrekenen tussen bolcoördinaten en cartesische coördinaten

Bolcoördinaten naar cartesische coördinaten:
x = r sin(φ) cos(θ)
y = r sin(φ) sin(θ)
z = r cos(φ)

Cartesische coördinaten naar bolcoördinaten:
r =
φ = cos^-1zr = cos^-1z
θ = tan^-1yx

Naar boven