Rekenen » Afronden en significante cijfers

Inhoud

Decimalen
Afronden
Bijzondere gevallen
Negatieve getallen
Significante cijfers
Rekenen met significante cijfers

Decimalen

Een cijfer achter de komma wordt een decimaal genoemd.
Zo heeft 23,5 één decimaal en heeft 4,375 drie decimalen.

Afronden

Het afronden van getallen gaat als volgt:
Je kijkt altijd naar het eerstvolgende decimaal, dus het decimaal na het decimaal waarop je afrondt.

-	Is dat 0, 1, 2, 3 of 4 dan blijft het decimaal waarop je afrondt onveranderd. Je rondt in dat geval naar beneden af omdat je het getal kleiner maakt doordat je wat weglaat.
-	Is dat 5, 6, 7, 8 of 9 dan wordt het decimaal waarop je afrondt met één opgehoogd. Je rondt in dat geval naar boven af omdat je het getal groter maakt.

Vind je het lastig?
Zet dan een gekleurd streepje direct achter het decimaal waarop je afrondt.

'Is ongeveer gelijk aan'-teken

Als je een getal afrondt gebruik je het ≈-teken.
Dit spreek je uit als 'is ongeveer gelijk aan'

Voorbeeld 1
Rond 15,4769 af op twee decimalen.
Het derde decimaal is een 6, we moeten dus naar boven afronden.
Antwoord: 15,47|69 ≈ 15,48

Voorbeeld 2
Rond 23,545 af op één decimaal.
Het tweede decimaal is een 4, we moeten dus naar beneden afronden.
Antwoord: 23,5|45 ≈ 23,5

Voorbeeld 3
Rond 19,027 af op een geheel getal.
Het eerste decimaal is een 0, we moeten dus naar beneden afronden.
Antwoord: 19,|027 ≈ 19

Bijzondere gevallen

Voorbeeld 4
Rond 7,7498 af op drie decimalen.
Het vierde decimaal is een 8, we moeten dus naar boven afronden.
Als we de 9 met één ophogen krijgen we 10.
Die verreken je met het decimaal ervoor.
Antwoord: 7,749|8 ≈ 7,750
De 0 blijft staan!
Je laat daarmee zien dat het getal op drie decimalen nauwkeurig is.

Voorbeeld 5
Rond 1,49951 af op drie decimalen.
Het vierde decimaal is een 5, we moeten dus naar boven afronden.
Als we de 9 met één ophogen krijgen we 10.
Die verreken je met het decimaal (of in dit geval: de decimalen) ervoor.
Antwoord: 1,499|51 ≈ 1,500

Voorbeeld 6
Rond 12 453 789 af op duizendtallen.
Het duizendtal is het vierde cijfer gezien vanaf rechts.
We kijken dus naar het derde cijfer vanaf rechts.
Dit is 7, dus moeten we naar boven afronden.
Antwoord: 12 453|789 ≈ 12 454 000
De nullen blijven staan!

Negatieve getallen

Voor negatieve getallen zijn de regels precies hetzelfde.

Voorbeeld 7
Rond –17,7488 af op twee decimalen.
Het derde decimaal is een 8, we moeten dus naar boven afronden.
Om die reden wordt het decimaal 4 een 5.
Antwoord: –17,74|88 ≈ –17,75

Breinbreker
Alhoewel de waarde van het afgeronde getal kleiner is geworden (want –17,75 < –17,7488) zeggen we toch nog steeds 'naar boven afronden' omdat we de decimaal met één hebben opgehoogd.

Significante cijfers

Significante cijfers worden ook wel beduidende cijfers of kenmerkende cijfers genoemd. Significante cijfers geven de nauwkeurigheid van een meting aan. De cijfers achter de komma tellen mee, ook nullen.

Voorbeelden

getal		aantal significante cijfers
1		1
215		3
73	,4	3
173	,40	5 (de nul achteraan telt mee)
410	,800	6 (de nullen achteraan tellen mee)
120 473	,344	9
073	,43	4 (de nul vooraan telt niet mee)
0	,044	2 (de nullen vooraan tellen niet mee)

Stel we meten iets met een gewone liniaal (met bij elke mm een streepje). Iets is precies tussen de 15 en 16 mm lang. We kunnen dus schatten dat de lengte 15,5 mm is. We zouden dit ook als 1,55 cm schrijven. In beide gevallen zien we drie significante cijfers. Zelfs als we de lengte in meters zouden uitdrukken (0,0155 m) hebben we nog steeds drie significante cijfers.

Nu gaan we iets meten met de bekende schoolliniaal van een meter. Hier staan alleen maar blokjes van 1 cm op en geen millimeters. We meten iets dat op 23 ligt tussen 42 en 43 cm. We weten dat 23 ≈ 0,66667. We kunnen echter de lengte niet geven als 42,66667 cm omdat dit een grotere nauwkeurigheid suggereert dan dat er werkelijk was. We kunnen dus beter de lengte schatten op ongeveer 42,7 cm.

Probleem bij nullen aan het eind zonder komma

Stel iemand zegt dat de afstand tot zijn huis 12 km is. We hebben hier twee significante cijfers. Omgerekend is dat 12 000 m. Er zijn nog steeds twee significante cijfers. De persoon zal namelijk niet op exact 12 km afstand wonen, maar ergens tussen 11,5 en 12,5 km.
Als die zelfde persoon zegt dat de afstand tot zijn huis 10 km is, hebben we weer twee significante cijfers en is dit omgerekend 10 000 m. Er zijn nog steeds twee significante cijfers. De eerste nul is dus wel significant en de laatste drie nullen niet. Een nul aan het einde van een getal (zonder komma) kan dus wel of niet significant zijn. Je kan aan een getal als 72 400 dus niet zien of het 3, 4 of 5 significante cijfers heeft. Als uitzondering heeft het getal 0 wel één significant cijfer.

Een oplossing is om het getal in een andere eenheid te zetten. Zo is het bij 1500 mg onduidelijk of de nullen significant zijn. Was het als 1,50 g geschreven, zouden we geweten hebben dat de eerste nul wel significant is.

Een andere oplossing is een streepje boven het laatste significante cijfer schrijven.
Zo heeft 1000 twee significante cijfers en 250 000 vier significante cijfers.

Gebruik de wetenschappelijke notatie

De makkelijkste en meest gebruikte oplossing is om gebruik te maken van de wetenschappelijke notatie.
Zo wordt 1000 = 1,0 × 10³ en wordt 250 000 = 2,500 × 10⁵.

Voorbeelden wetenschappelijke notatie

getal		aantal significante cijfers
1,3	× 10²	2
1,54	× 10⁴	3
7,2500	× 10¹	5 (de nullen achteraan tellen mee)

Het meetinstrument heeft ook een bepaalde nauwkeurigheid

Elk meetinstrument heeft een bepaalde nauwkeurigheid. Houdt twee verschillende linialen naast elkaar en soms zie je dat ze afwijken ten opzichte van elkaar. Ook digitale instrumenten zoals weegschalen hebben een bepaalde nauwkeurigheid. Deze staat in de handleiding en is soms ook op display van het apparaat te vinden.

Voorbeeld
Een digitale weegschaal geeft 12,873 gram aan. Het apparaat heeft een meetnauwkeurigheid van 0,01 gram. Je schrijft dan op 12,87 ± 0,01 gram. Hiermee geef je aan dat het getal ook 12,86 of 12,88 had kunnen zijn.

Rekenen met significante cijfers

Optellen en aftrekken

Bij optellen en aftrekken met significante cijfers rond je het eindantwoord af op het aantal decimalen dat de meetwaarde met het kleinst aantal decimalen had.

Voorbeeld 1
47,2 gram + 12,37 gram = 59,57 gram ≈ 59,6 gram
Het kleinst aantal decimalen in de oorspronkelijke meetwaarden is één: 47,2.

Voorbeeld 2
15 gram + 2,15 gram = 17,15 gram ≈ 17 gram
Het kleinst aantal decimalen in de oorspronkelijke meetwaarden is nul: 15.

Andere gevallen

Bij de overige berekeningen met significante cijfers rond je het eindantwoord af op het aantal significante cijfers van het minst nauwkeurige gegeven getal, dus de meetwaarde met het minste aantal significante cijfers.

Voorbeeld 3
4,125 cm × 16,2 cm = 66,825 cm² ≈ 66,8 cm²
Het kleinst aantal significante cijfers in de oorspronkelijke meetwaarden is drie.

Voorbeeld 4
Een hardloper legt de 500 meter in 62,27 seconden af. We weten dat de baan is aangelegd in cm nauwkeurig. Wat is de snelheid van deze hardloper in m/s?

Antwoord:
De baan is in cm nauwkeurig en heeft dus een lengte van 500,00 meter. Dit zijn vijf significante cijfers. De gemeten tijd is echter gegeven in vier significante cijfers. Ons eindantwoord schrijven we dus ook op in vier significante cijfers.
500,0062,27 = 8,029548... m/s ≈ 8,030 m/s

Voorbeeld 5
Bereken de inhoud van een kubus met ribbe 25 cm.

Antwoord:
De originele meetwaarde heeft twee significante cijfers. Ons eindantwoord moet dus ook in twee significante cijfers gegeven worden.
25³ = 15 625 cm³ ≈ 1,6 × 10⁴ cm³.

Let op!

Bij wiskunde wordt normaal gesproken niet gelet op significante cijfers en ik denk dat een groot deel van de wiskundedocenten niet echt blij worden als je (alleen) het antwoord 1,6 × 10⁴ cm³ geeft bij voorbeeld 5. Bij natuurkunde en scheikunde moet je meestal wel letten op significante cijfers. Vraag het je docent als je twijfelt.

Zoek je een rekenmachine die direct kijkt naar significante cijfers?

Twijfel je of je het snapt?
Deze significant figures calculator is een handige (Engelstalige) rekenmachine om mee te oefenen of je eigen voorbeelden mee te controleren.
Uiteraard kan je de rekenmachine ook gebruiken als je een rekenmachine wilt die direct kijkt naar significante cijfers.

Naar boven