Meetkunde » Gelijkvormigheid

Inhoud

1. Wanneer zijn twee figuren gelijkvormig?
2. Bijzonder geval: de driehoek
3. Voorbeelden
4. Nog meer voorbeelden (snavel- en zandloperfiguur)

1. Wanneer zijn twee figuren gelijkvormig?

Twee figuren zijn gelijkvormig als:
- de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte hebben
en
- de overeenkomstige zijden dezelfde vergrotingsfactor hebben.

Een vergroting is altijd gelijkvormig aan het origineel.
Als er dus al gegeven is dat figuur B een vergroting is van figuur A,
dan mag je aannemen dat de figuren A en B gelijkvormig zijn.

Voorbeeld
Zijn onderstaande vierhoeken gelijkvormig?

Hoeken gelijk?
A = E = 90°
B = F = 65°
C = G = 360° – 90° – 65° – 105° = 100°
D = H = 360° – 90° – 65° – 100° = 105°

Factoren gelijk?
80 : 40 = 2
80 : 40 = 2
42 : 21 = 2
100 : 50 = 2

Aan beide voorwaarden is voldaan:
Vierhoek ABCD is gelijkvormig met vierhoek EFGH.

2. Bijzonder geval: de driehoek

Een bijzonder geval is de driehoek. Omdat deze maar drie zijden heeft, heb je minder gegevens nodig om een driehoek te tekenen. Zo kan je als je één hoek en de twee zijden weet, al de bijbehorende driehoek tekenen.
Dit resulteert er in dat de gelijkvormigheidsregels voor een driehoek niet allebei hoeven te gelden. Als er één van de twee geldt, kan je al met zekerheid zeggen dat de twee driehoeken gelijkvormig zijn.

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als:

-	de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte hebben. Twee is al genoeg, omdat de derde altijd 180° moet maken.
of
-	de overeenkomstige zijden dezelfde vergrotingsfactor hebben.

Voorbeelden

Is ΔABC gelijkvormig met ΔDEF? A = F = 90° B = D = 180° – 90° – 41° = 49°  Derde hoek ook altijd opschrijven: C = E = 180° – 90° – 49° = 41° Conclusie: De hoeken zijn gelijk, de driehoeken zijn gelijkvormig.

Is ΔABC gelijkvormig met ΔDEF? 60 : 15 = 4 64 : 16 = 4 69 : 17 = 4117 Conclusie: De factoren zijn verschillend, de driehoeken zijn niet gelijkvormig.

3. Voorbeelden

Voorbeeld 1
Zie onderstaande figuur.

Bereken EF.

Antwoord:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek EDF (letters op dezelfde plaats als overeenkomstige hoeken), omdat:
A = E = 90°
B = D = 180° – 90° – 34° = 56°
C = F = 180° – 90° – 56° = 34°

De vergrotingsfactor is 8 : 6 = 113.
Let op: rond vergrotingsfactoren NOOIT af, gebruik altijd een breuk!
EF = 9 × 113 = 12

Voorbeeld 2
Zie onderstaande figuur.

Bereken AE en AD.

Antwoord:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek AED, omdat:
A₁= A₂
B = E

De vergrotingsfactor is 4,5 : 3 = 112.
Je hebt de stelling van Pythagoras nodig om AC te bereken.
AC =  = 5, dit kan ook met een schema berekend worden.
AE = AB × 112 = 4 × 112 = 6.
AD = AC × 112 = 5 × 112 = 712.

4. Nog meer voorbeelden

Voorbeeld 1 bevat een voorbeeld met een snavelfiguur.
Voorbeeld 2 bevat een voorbeeld met een zandloperfiguur.

Voorbeeld 1
Zie onderstaande figuur.

Gegeven is dat ABCD is een rechthoek.
Bereken BP.

Antwoord:
Driehoek DQC is gelijkvormig met driehoek BPQ, omdat:
D₂ = P (vanwege Z-figuur, zie hoeken)
C = B = 90° (rechthoek)
De vergrotingsfactor is (4 – 112) : 112 = 123.
BP = CD : 123 = 7 : 123 = 415.

Noot: Je kan ook driehoek APD gebruiken, maar dan moet je een vergelijking op lossen om tot je antwoord te komen. In het voorbeeld hieronder zie je deze manier wel.

Voorbeeld 2
Zie onderstaande figuur.

Gegeven is dat ABCD is een rechthoek.
Bereken PS.

Antwoord:
Driehoek APS is gelijkvormig met driehoek CSD, omdat:
A₂ = C₂ (vanwege Z-figuur)
P1> = D₂ (vanwege Z-figuur)
De vergrotingsfactor is 10 : 6 = 123.

We moeten PS uitrekenen, maar dat lukt niet direct.
Wat we wel weten van PS is het volgende:
PS + DS = PD
DS = 123 × PS

PD kunnen we berekenen met Pythagoras =  = 10 cm.
Je unt natuurlijk ook een schema gebruiken om PD te berekenen.

Met de berekende gegevens kunnen we de formule veranderen in een vergelijking:
(je subsitueert DS = 123 × PS en PD = 10 in de formule)

PS + DS	= PD
PS + 123 × PS	= 10
223PS	= 10
PS	= 10 : 223 = 334 cm

Naar boven