Meetkunde » Schaal en vergrotingsfactor

Inhoud

1. Rekenen met schaal
2. Rekenen met een vergrotingsfactor
3. Vergrotingsfactor bij oppervlakte en inhoud

Voor meer informatie over vergrotingen, kijk je bij gelijkvormigheid.

1. Rekenen met schaal

Het rekenen met schaal heeft altijd te maken met een tekening, landkaart of een foto. Deze zijn vaak een kleinere weergave van de werkelijkheid. Om aan te geven hoeveel keer zo groot de werkelijkheid is kan je een schaal gebruiken.
Een schaal is een verhouding.

Een schaal van 1:10 betekent dat alles in werkelijkheid tien keer zo groot is. In andere woorden: 1 cm op de tekening is 10 cm in het echt. Een schaal van 1:500 betekent dat alles in werkelijkheid vijfhonderd keer zo groot is. Oftewel: 1 cm op de tekening is dan 500 cm = 5 m in het echt.

In uitzonderlijke gevallen kan ook de tekening groter zijn dan de werkelijkheid. Bijvoorbeeld een luis die uitvergroot is getekend in een biologieboek. Dan is nog steeds het eerste getalletje voor de tekening en de tweede voor de werkelijkheid.
Een schaal van 5:1 betekent dat alles in werkelijkheid vijf keer zo klein is. Dus 5 cm op de tekening is 1 cm in werkelijkheid.

De uitspraak:
1:30 spreek je uit als 1 op 30, of 1 staat tot 30.

Voorbeeld 1
Op een kaart met een schaal 1:10 000 is een weg 4,5 cm.
Hoeveel km is deze weg in werkelijkheid?

Antwoord:
4,5 × 10 000 = 45 000 cm = 450 m = 0,45 km.

Voorbeeld 2
Op een tekening met schaal 1:150 is een grasveld van 3 cm bij 5,5 cm getekend.
Wat is de oppervlakte in m² in werkelijkheid?

Antwoord:
Lengte = 5,5 × 150 = 825 cm = 8,25 m
Breedte = 3 × 150 = 450 cm = 4,5 m
Oppervlakte = 8,25 × 4,5 = 37,125 m²

2. Rekenen met een vergrotingsfactor

In plaats van met een schaal kan je ook rekenen met een vergrotingsfactor.
Een vergrotingsfactor van 3 betekent dat iets drie keer zo groot wordt.
Let op dat je bij het rekenen met vergrotingsfactoren nooit tussentijds afrondt, alleen je eindantwoord mag worden afgerond.

Voorbeeld 1
Een foto met een lengte van 10 cm en een hoogte van 15 cm wordt uitvergroot tot poster. De lengte van de poster is 45 cm geworden.
Wat is dan de hoogte van de poster?

Antwoord:
De vergrotingfactor van foto naar poster is 45 : 10 = 4,5
De hoogte wordt dan 15 × 4,5 = 67,5 cm

Voorbeeld 2
Een boom met een hoogte van 5 m wordt door iemand (op schaal) getekend.
In de tekening is de boom 10 cm hoog. De stam is in de tekening 1,5 cm breed.
Hoe dik is de stam in werkelijkheid?

Antwoord:
De factor van de tekening naar de boom is 500 : 10 = 50.
De stam is dus 1,5 × 50 = 75 cm dik.

3. Vergrotingsfactor bij oppervlakte en inhoud

Als een figuur vijf keer zo groot wordt, dan wordt de lengte vijf keer zo groot, de breedte vijf keer zo groot en de hoogte vijf keer zo groot.
De oppervlakte wordt dan dus vijf keer vijf keer zo groot.
De inhoud wordt dan dus vijf keer vijf keer vijf keer zo groot.

Dus:
Vergrotingsfactor voor de lengte = k
Vergrotingsfactor voor de oppervlakte = k²
Vergrotingsfactor voor de inhoud = k³

Voorbeeld 1
Een foto met een oppervlakte van 150 cm² wordt vergroot met een factor 7.
Wat wordt de oppervlakte van de vergroting?

Antwoord:
De vergrotingsfactor voor de oppervlakte wordt 7².
Nieuwe oppervlakte = 49 × 150 = 7350 cm².

Voorbeeld 2
In een doos passen precies 27 kubusjes.
Men vindt deze doos te klein, dus koopt men een nieuwe doos.
Deze nieuwe doos is een vergroting van de oude doos met een factor 2.
Hoeveel kubusjes passen er in de nieuwe doos.

Antwoord:
De vergrotingsfactor voor de inhoud wordt 2³ = 8.
Er passen dus 27 × 8 = 216 kubusjes in de nieuwe doos.

Voorbeeld 3
Van een foto wordt een vergroting gemaakt.
De fiets in de foto is 5 cm hoog. De oppervlakte van de foto is 130 cm².
De oppervlakte van de vergroting is 4680 cm².
Hoe hoog is de fiets in de vergroting?

Antwoord:
De vergrotingsfactor voor de oppervlakte is 4680 : 130 = 36.
De vergrotingsfactor voor de lengte wordt dan = 6 (je moet de wortel doen om van k² terug te rekenen naar k).
De hoogte van de fiets op de vergroting 5 × 6 = 30 cm.

Voorbeeld 4
Van een kruik wordt een vergroting gemaakt waar 30 keer zoveel in past.
Wat was de vergrotingsfactor?

Antwoord:
k³ = 30
k =  ≈ 3,1

Naar boven