Goniometrie » Sinusregel
Let op, de lengte a en de hoekgrootte α (alpha) worden allebei gebruikt. Kijk goed naar het verschil tussen deze twee letters.
Inhoud
Wat is de sinusregel?Hoe reken je met de sinusregel?
Bewijs van de sinusregel
Wat is de sinusregel?
De sinusregel luidt als volgt voor driehoek ABC waarin α = 
A, β = B, γ = C, a = BC, b = AC en c = AB.
asin(α) = bsin(β) = csin(γ)
Met gewone letters zou je de sinusregel ook kunnen schrijven als:
BCsin(A) = ACsin(B) = ABsin(C)
Hoe reken je met de sinusregel?
Het handigst reken je met een verhoudingstabel.
Je vult dan de tabel in op deze manier:
| a | b | c |
sin(α) |
sin(β) |
sin(γ) |
Daarna gebruik je kruislings vermenigvuldigen om de gevraagde zijden en hoeken te berekenen.
Voorbeeld
Gegeven is de volgende driehoek.
Bereken de onbekende zijde en hoeken.
Vul de tabel in:
| 7,3 | 9,1 | c |
sin(40°) |
sin(β) |
sin(γ) |
Bereken eerst β.
sin(β) = 9,1 · sin(40°)7,3 = 0,801...
β = sin–1(0,801...) = 53,253...°
Omdat in een driehoek de drie hoeken altijd samen 180° zijn, kan je met de twee hoeken die je nu weet de derde hoek berekenen.
γ = 180° – α – β = 180° – 40 – 53,253...° = 86,747...°
Met de nu berekende gegevens komt de tabel er als volgt uit te zien:
| 7,3 | 9,1 | c |
sin(40°) |
sin(53,253...°) |
sin(86,747...°) |
Nu zijde c berekenen:
c = 7,3 · sin(86,747...°)sin(40°) ≈ 11,3
Bewijs van de sinusregel
Om de sinusregel te bewijzen, maken we gebruik van een hoogtelijn.
Er geldt nu: sin(α) = hb en sin(β) = ha
Herschrijven geeft: h = b · sin(α) en h = a · sin(β)
Er geldt dus: a · sin(β) = b · sin(α)
Herschrijven geeft: asin(α) = bsin(β)