Ongelijkheden » Kwadratische ongelijkheden

Bij een kwadratische ongelijkheid los je, net als bij lineaire ongelijkheden, eerst de bijbehorende vergelijking op, om de snijpunten te bepalen.
Daarna bepaal je de juiste oplossing met behulp van een schets of de getallenlijn.

Het is natuurlijk belangrijk dat je weet wat alle tekens betekenen. Kijk indien nodig bij domein en bereik als je niet meer weet wat <, >, ≤ en ≥ betekenen.

Voorbeeld 1
a² + 30 < –11a + 2
a² + 30 = –11a + 2
a² + 11a + 28 = 0
(a + 4)(a + 7) = 0
a = –4 of a = –7

Verder met schets	Verder met getallenlijn
Er zijn twee snijpunten en de parabool is een dalparabool. Daar hoort deze schets bij: Kijk naar de originele ongelijkheid: a2 + 30 < –11a + 2 Parabool < lijn In de schets zie je dat tussen de twee snijpunten de parabool lager is dan de lijn. Oplossing is: –7 < a < –4	Reken voor getallen buiten en tussen de snijpunten uit of de ongelijkheid klopt. Buiten de twee snijpunten: Neem bijvoorbeeld a = –8. (–8)2 + 30  < –11 × –8 + 2 94  < 90 Klopt  niet! Tussen de twee snijpunten: Neem bijvoorbeeld a = –6. (–6)2 + 30  < –11 × –6 + 2 66  < 68 Kl opt! Je mag een getallenlijn tekenen, om je te helpen. Omdat 'tussen' klopt is de oplossing: –7 < a < –4

Voorbeeld 2

–2x2 – 4x – 69	≤ –28x – 5
–2x2 – 4x – 69	= –28x – 5
–2x2 + 24x – 64	= 0
x2 – 12x + 32	= 0
(x – 4)(x – 8)	= 0
x = 4 of x =	8

Verder met schets

Verder met getallenlijn

Er zijn twee snijpunten en de parabool is een bergparabool. Daar hoort deze schets bij: Kijk naar de originele ongelijkheid: –2x2 – 4x – 69  ≤ –28x – 5  parabool  ≤ lijn Buiten de twee snijpunten is de parabool kleiner dan de lijn. Oplossing is: x ≤ 4 of x ≥ 8

Reken voor getallen buiten en tussen de snijpunten uit of de ongelijkheid klopt. Buiten de twee snijpunten: Neem bijvoorbeeld x = 2. –2 × 22 – 4 × 2 – 69  ≤ –28 × 2 – 5 –85  ≤ –61 Klo pt! Tussen de twee snijpunten: Neem bijvoorbeeld x = 5. –2 × 52 – 4 × 5 – 69  ≤ –28 × 5 – 5 –139  ≤ –145 Klopt  niet! Je mag een getallenlijn tekenen, om je te helpen. Omdat 'buiten' klopt is de oplossing: x ≤ 4 of x ≥ 8

Let op bij:

Geen snijpunten (zie schets): Parabool < lijn of parabool ≤ lijn Oplossing: elke waarde van x Parabool > lijn of parabool ≥ lijn Oplossing: voor geen enkele waarde van x
Eén snijpunt/raakpunt (zie schets): Parabool < lijn Oplossing: x ≠ 1 (Elke waarde van x behalve x = 1) Parabool > lijn Oplossing: voor geen enkele waarde van x Parabool ≤ lijn Oplossing: elke waarde van x Parabool ≥ lijn Oplossing: x = 1	raakpunt bij x = 1