Formules, grafieken en verbanden » Lineair en recht evenredig verband  

Inhoud

1. Algemeen
2. Formule
3. Tabel (inclusief formule maken bij een tabel)
4. Grafiek (inclusief formule maken bij een lineaire grafiek)
5. Formule maken als je alleen coördinaten weet

1. Algemeen

Als er sprake is van een lineair verband, dan heb je een gelijke toename (of afname).
Een recht evenredig verband is een lineair verband dat door de oorsprong gaat.

2. Formule

De formule heeft altijd de vorm y = ax + b.
Hierin is a het hellingsgetal en b het startgetal.
Het hellingsgetal wordt ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd.
Het hellingsgetal is de toename per x. Bij een afname is het hellingsgetal negatief.
Het startgetal is de y-coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Bij een recht evenredig verband ligt dat snijpunt in de oorsprong dus b = 0.
De formule van een recht evenredig verband is dus altijd van de vorm y = ax.

3. Tabel (inclusief formule maken bij een tabel)

In een tabel bij een lineair of recht evenredig verband kan je de toename gemakkelijk herkennen, mits je ervoor zorgt dat ook in de bovenste rij van de tabel de toename gelijk is.
Bij een recht evenredig verband staat in de tabel altijd onder x = 0 ook y = 0. Bij een recht evenredig verband hoort een verhoudingstabel. Je kan de bovenste rij vermenigvuldigen met eenzelfde getal, zodat je de antwoorden van de onderste rij krijgt (dit is het hellingsgetal).

Voorbeeld 1

x	0		1		2		3		4
y	6		9		12		15		18
		+3		+3		+3		+3

In de tabel hierboven is er een toename van +3 voor elke x.
Het hellingsgetal is daarom 3. Bij x = 0 kan je aflezen dat het startgetal 6 is.
De formule die bij deze tabel hoort is daarom y = 3x + 6.

Voorbeeld 2

		+3		+3
x	2		5		8
y	23		15,5		8
		–7,5		–7,5

De toename boven is 3 en beneden –7,5. Dit betekent dat je per x een toename hebt van –7,5 : 3 = –2,5. Dit is het hellingsgetal.
Het startgetal kunnen we niet meteen aflezen, omdat x = 0 niet in de tabel voorkomt.
We zullen dus terug moeten rekenen vanaf (2, 23). Een stapje naar rechts is – 2,5.
Wij moeten twee stapjes naar links dus twee keer + 2,5.
Het startgetal is b = 23 + 2 × 2,5 = 28.
De formule voor deze tabel is y = –2,5x + 28.

Voorbeeld 3

		+2		+2		+3		+4
x	0		2		4		7		11
y	0		7		14		24,5		38,5
		+7		+7		+10,5		+14

Het hellingsgetal is nu op twee manier te bepalen.

1.	De toename tussen de eerste twee kolommen is voor x +2 en voor y +7. Per x is er een toename van 7 : 2 = 3,5. Controleer eventueel die toename bij de andere kolommen als niet gegeven is dat de tabel hoort bij een lineair verband.
2.	Vanwege (0, 0) in de tabel kan het alleen maar om een recht evenredig verband gaan. Kijk daarom of je de getallen in de bovenste rij kan vermenigvuldigen met hetzelfde getal zodat je de getallen in de onderste rij krijgt. Het getal waarmee je moet vermenigvuldigen (de factor) is je hellingsgetal.

De formule is dus y = 3,5x.

4. Grafiek (inclusief formule maken bij een lineaire grafiek)

Een grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.
Hieronder staan een aantal voorbeelden.
Des te groter het hellingsgetal is, des te steiler de grafiek loopt.
Bij een negatief hellingsgetal heb je een dalende grafiek.

Let op, de paarse lijn (D) is geen lineaire grafiek, maar wordt wel vaak aangeleerd in hoofdstukken over lineaire formules.

Hoe maak je de formules hierbij?

Gebruik y = ax + b waarbij a het hellingsgetal en b het startgetal is.
De toename per x (het hellingsgetal) kan je vaak niet goed aflezen.
Die moet dan berekend worden met de volgende formule:
a = verticaal verschilhorizontaal verschil
Je leest altijd twee duidelijke punten op de grafiek af. Bij voorkeur roosterpunten.
Met twee punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂) krijg je als formule voor het hellingsgetal:
a = y₂ – y₁x₂ – x₁
Het startgetal kan je aflezen van de verticale as (meestal de y-as).
Het startgetal is de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as.

Voorbeelden
Rood (A):
Gaat van (0, 0) naar (4, 6).
Dus a = 6 – 04 – 0 = 64 = 1,5 en b = 0. De formule wordt y = 1,5x.

Groen (B):
Gaat van (0, 14) naar (8, 8).
Dus a = 8 – 148 – 0 = –34 = –0,75 en b = 14. De formule wordt y = –0,75x + 14.

Blauw (C):
Horizontale lijn, geen toename of afname dus a = 0 en b = 4. Formule wordt y = 4.

Paars (D):
Heeft geen hellingsgetal en ook geen startgetal. Een lineaire formule kan je dan ook niet maken. Omdat de lijn overal x = 3 heeft, is afgesproken dat x = 3 de formule voor deze lijn is.

5. Formule maken als je alleen coördinaten weet

Als je alleen twee coördinaten weet, kan je ook de formule maken. Je gebruikt weer:
y = ax + b waarbij a het hellingsgetal en b het startgetal is.
a = verticaal verschilhorizontaal verschil = y₂ – y₁x₂ – x₁
Het startgetal bereken je daarna door middel van een vergelijking.

Voorbeeld 1
Geef de formule voor de lijn die gaat door de punten (3, –5) en (7, 15).
a = 15 – –57 – 3 = 204 = 5
Door dit hellingsgetal in te vullen krijg je y = 5x + b.
Door de twee gegeven punten weet je dat als je voor x = 7 neemt, de formule als uitkomst y = 15 moet geven.
Daar kan je de volgende vergelijking bij opstellen (je vult 7 en 15 in):

15	= 5 × 7 + b
15	= 35 + b
b	= –20

De formule wordt dus y = 5x – 20.
(Je mag natuurlijk ook x = 3 en y = –5 invullen in de vergelijking om b te vinden)

Voorbeeld 2
Geef de formule voor de lijn die gaat door de punten (–4, 17) en (5, –1).
a = –1 – 175 – –4 = –189 = –2
Door dit hellingsgetal in te vullen krijg je y = –2x + b.
Door de twee gegeven punten weet je dat als je voor x = 5 neemt, de formule als uitkomst y = –1 moet geven.
Daar kan je de volgende vergelijking bij opstellen (je vult 5 en –1 in):

–1	= –2 × 5 + b
–1	= –10 + b
b	= 9

De formule wordt dus y = –2x + 9.
(Je mag natuurlijk ook x = –4 en y = 17 invullen in de vergelijking om b te vinden)

Naar boven