Handig tellen » Permutaties

Hieronder staan 5 verschillende voorbeelden over het gebruik van permutaties.

Voorbeeld 1
Hoeveel vlaggen van 3 horizontale banen, die verschillend gekleurd zijn, kan je maken als je uit 3 kleuren mag kiezen, waarbij elke kleur maar één keer gebruikt mag worden?

Antwoord:
De bovenste baan kan op 3 manieren worden gekleurd, de middelste op 2 en de onderste op 1.

Zie tekening:

3 × 2 × 1 = 3! = 6 manieren.

Voorbeeld 2
Een geheime code bestaat uit 3 verschillende cijfers.
Er wordt in ieder geval geen 0, 1 en 2 gebruikt in de code.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de code?

Antwoord:
Voor het eerste cijfer zijn 7 mogelijkheden, namelijk 3 t/m 9.
Voor het tweede cijfer zijn nog maar 6 mogelijkheden, omdat je niet het zelfde cijfer mag gebruiken als voor het eerste cijfer van de code.
Voor het derde cijfer heb je dan nog maar 5 mogelijkheden.

Zie tekening:

7 × 6 × 5 = 7 nPr 3 = 210 mogelijkheden.

Voorbeeld 3
Hoeveel 'woorden' kun je maken met de letters uit het woord 'appeltaart'.

Antwoord:
Je hebt 10 letters: a₁p₁p₂elt₁a₂a₃rt₂
Waarmee je dus 10! woorden kunt maken.
Zie ook voorbeeld 1.

Maar als je de a's onderling verplaatst, wat op 3! manieren kan, geeft dat hetzelfde woord, want a₁p₁p₂elt₁a₂a₃rt₂ is hetzelfde als a₂p₂p₁elt₂a₃a₁rt₁.

Het totale aantal woorden wordt hierdoor dus 3! = 6 keer zo klein.
Hetzelfde geldt voor de p en de t, beide 2!.
Het totale aantal 'woorden' is dus: 10!3!2!2! = 151200

Voorbeeld 4
Op een plank staan 6 boeken, waarvan 4 kookboeken.
Op hoeveel manieren kun je de boeken op de plank zetten als de kookboeken naast elkaar moeten komen.

Antwoord:
De 4 kookboeken naast elkaar vormen samen een boek, dus heb je in totaal 3 boeken en die kunnen op 3! manieren naast elkaar komen.
Maar bij elke manier kunnen we de 4 kookboeken onderling op 4! manieren rangschikken. Het totale aantal manieren is dus 3! × 4! = 144.

Voorbeeld 5
Op hoeveel manieren kun je 4 jongens en 5 meisjes op een rij zetten als de middelste drie per se meisjes moeten zijn?

Antwoord:
Voor die middelste heb je 5 × 4 × 3 = 60 mogelijkheden.
Bij ieder mogelijkheid moet je de resterende 4 jongens en 2 meisjes op de 6 open plaatsen zetten. Dat kan op 6! manieren.
In totaal zijn er dus 60 × 6! = 43200 manieren.