Kansrekening » Productregel

Inhoud

1. Zonder terugleggen
2. Met terugleggen
3. Combinatie van som- en productregel

1. Zonder terugleggen

De productregel kan gebruikt worden bij samengestelde kansexperimenten, waarbij kansen niet gelijk blijven.

Voorbeeld
Stel ik heb de volgende vaas met 4 rode en 6 blauwe knikker.

Ik pak er 2 keer achter elkaar een knikker uit zonder deze terug te leggen.
Hoe groot is de kans op twee rode knikkers?

Antwoord:
De kans om de eerste keer een rode knikker te pakken is 410.
Er zijn in totaal 10 knikkers, waarvan er 4 rood zijn.
Maar bij de tweede keer is de kans niet meer 410.
Er zijn nu in totaal 9 knikkers, waarvan er 3 rood zijn. De kans is dus 39.
De kans op twee rode knikkers is dan 410 × 39 = 215.

2. Met terugleggen

De productregel is met name handig als de kansen tijdens de gebeurtenissen niet veranderen.
De verschillende gebeurtenissen moeten dan onafhankelijk van elkaar zijn.
De kansen kunnen dan berekend worden met behulp van machten.
De volgende twee voorbeelden maken dit duidelijk:

Voorbeeld 1
Stel ik heb de volgende vaas met 4 rode en 6 blauwe knikker.

Ik pak er 3 keer achter elkaar een knikker uit schrijf de kleur op, en doe deze daarna terug in de vaas.
Hoe groot is de kans op drie rode knikkers?

Antwoord:
De kans om de eerste keer een rode knikker te pakken is 410. Er zijn in totaal 10 knikkers, waarvan er 4 rood zijn.
Bij de tweede keer is de kans nog steeds 410 want de rode knikker zit weer in de vaas.
De kans op drie rode knikkers is dan 410 × 410 × 410 = (410)³ = 641000 = 8125.

Voorbeeld 2
Wat is de kans op precies drie keer een 4 en zeven keer oneven bij tien keer gooien met een gewone dobbelsteen?

Antwoord:
De gebeurtenissen zijn onafhankelijk. De kans op een 4 is 16. De kans op oneven is 12.
De kans op drie keer een 4 en zeven keer oneven is dan (16)³ × (12)⁷.
Er zijn 10 nCr 3 verschillende reeksen van drie keer een 4 en zeven keer oneven.
P(drie keer een 4 en zeven keer oneven) = 10
3(16)³(12)⁷ ≈ 0,004

3. Combinatie van som- en productregel

De productregel kan je ook gebruiken bij het herhaald uitvoeren van een kansexperiment.

Voorbeeld
Bereken de kans op één 4 bij vijf keer draaien van de volgende schijf:


Antwoord:
De 4 kan je bij de eerste keer of de tweede keer of de derde keer of de vierde keer of de vijfde keer hebben gedraaid.
De kans hierop bereken je als volgt:
De eerste keer: 14 × 34 × 34 × 34 × 34 = 811024
De tweede keer: 34 × 14 × 34 × 34 × 34 = 811024
De derde keer: 34 × 34 × 14 × 34 × 34 = 811024
De vierde keer: 34 × 34 × 34 × 14 × 34 = 811024
De vijfde keer: 34 × 34 × 34 × 34 × 14 = 811024
De kansen moet je tot slot bij elkaar optellen: 5 × 811024 = 4051024
Deze kans kan je ook als volgt berekenen:  5
1(14)(34)⁴ = 4051024

Naar boven