Formules, grafieken en verbanden » Omgekeerd evenredig en hyperbolisch verband
Inhoud
1. Omgekeerd evenredig verband2. Hyperbolisch verband
3. Grafiek
4. Formule opstellen
1. Omgekeerd evenredig verband
In een omgekeerd evenredig verband geldt dat als je de waarde van x twee keer zo groot maakt, daardoor de waarde van y twee keer zo klein wordt.
Deze formules gebruik je voor het rekenen met bijvoorbeeld oppervlakte en zijdes, snelheid en afstand, of met het verdelen van een bedrag over een x aantal personen.
Formule
Formules van de vorm x × y = c, waarbij c een constant getal is, horen bij een omgekeerd evenredig verband.
Je kunt deze formule ook in de vorm y = cx en x = cy schrijven.
Voorbeelden zijn y = 3x en a = –5b.
Tabel
De onderstaande tabel hoort bij een omgekeerd evenredig verband.
| x | –6 | –5 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 6 | –15 | –10 | –7,5 |
Als je de getallen in de bovenste rij vermenigvuldigt met de getallen in de onderste rij, zal er iedere keer hetzelfde antwoord uitkomen. Bij deze tabel is dat –30. Op deze manier kan je een tabel met een omgekeerd evenredig verband herkennen.
De formule bij deze tabel is y = –30x.
2. Hyperbolisch verband
Een formule waarbij de variabele in de noemer van een breuk staat, noem je een gebroken formule. Een gebroken formule hoort bij een hyperbolisch verband.
Een omgekeerd evenredig verband heeft de variabele in de noemer en is daarom ook een hyperbolisch verband.
Formule
Een gebroken formule heeft altijd de vorm y = a + cx – b.
Voorbeelden van gebroken formules zijn y = 3 + 8x + 1 en T = 80 – 3t – 4.
3. Grafiek
De grafiek die hoort bij een hyperbolisch verband is een hyperbool.
Hieronder is de grafiek van y = 2x (rood) en y = 4 – 1x + 2 (blauw) getekend.
Omdat je niet kan delen door 0, krijg je asymptoten.
De rode hyperbool heeft als asymptoten y = 0 en x = 0.
De blauwe hyperbool heeft als asymptoten y = 4 en x = –2 (de gestippelde lijnen).
4. Formule opstellen
Omgekeerd evenredig verband
De formule is altijd van de vorm y × x = c of y = cx.
Voorbeeld
| x | 1 | 4 | –2 | –3 |
| y | 24 | 6 | –12 | –8 |
In de tabel hierboven geldt dat y × x telkens 24 is, dus c = 24.
De formule is dan y = 24x.
Hyperbolisch verband / gebroken formule
De formule is altijd van de vorm y = a + cx – b.
In deze formule is a de y-waarde van de horizontale asymptoot en b de x-waarde van de verticale asymptoot. Om c te weten te komen zal je een vergelijking moeten oplossen.
Voorbeeld
De asymptoten zijn y = 2 en x = 1. Vul deze in voor a en b.
De formule wordt dan y = 2 + cx – 1.
Neem nu een goed afleesbaar punt uit de grafiek en vul dit in de formule in. Bijvoorbeeld (2, –3). De vergelijking wordt dan:
| –3 | = 2 + c2 – 1 |
| –3 | = 2 + c |
| c | = –5 |
De formule is dus y = 2 + – 5x – 1.
Schuine asymptoot?
De bovenstaande uitleg geldt ook voor hyperbolische verbanden met een schuine asymptoot. Stel dat je schuine asymptoot de lijn y = 2x volgt. Dan neem je 2x voor a in de formule.