Meetkunde » Driehoeken

Direct naar oppervlakte driehoek berekenen


Soorten driehoeken

Er zijn allerlei driehoeken. De grootste groep zijn de onregelmatige driehoeken. Zij hebben geen bijzondere eigenschappen zoals een rechte hoek of gelijke zijden. Deze onregelmatige driehoeken zijn wel onder te verdelen in scherphoekige driehoeken en in stomphoekige driehoeken.

Rechthoekige driehoek

Een driehoek met een rechte hoek.
Rechthoekige driehoek
Noot: Alleen in een rechthoekige driehoek kan je de stelling van Pythagoras en goniometrie toepassen (tan, cos en sin).

Gelijkbenige driehoek

Een driehoek met twee gelijke zijden. Heeft één symmetrieas. De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek. De andere twee hoeken, die gelijk van grootte zijn door de symmetrieas, noem je basishoeken. De twee basishoeken hebben dezelfde grootte.
Gelijkbenige driehoek met de symmetrieas gestippeld getekend

Gelijkzijdige driehoek

Een driehoek met drie gelijke zijden. Deze driehoek heeft drie symmetrieassen. De hoeken van deze driehoek zijn altijd alle drie 60°.
Gelijkzijdige driehoek

Scherphoekige driehoek

Een driehoek met drie scherpe hoeken.
Scherphoekige driehoek

Stomphoekige driehoek

Een driehoek met één stompe hoek en twee scherpe hoeken.
Stomphoekige driehoek

Oppervlakte berekenen van een driehoek

De oppervlakte van een driehoek wordt altijd berekend door:
Oppervlakte = 12 × basis × hoogte  (of basis × hoogte : 2)
De basis is altijd één van de zijden van de driehoek.
De hoogte is de (kortste) afstand van die zijde tot het tegenoverliggende punt.
De hoogte en basis staan altijd loodrecht op elkaar.

Voorbeelden van driehoeken met de basis en de hoogte daarin getekend

De basis hoeft niet per se de onderste zijde te zijn. Zie het onderstaande voorbeeld.

Zijn alleen de drie zijden gegeven?
Gebruik dan de formule van Heron die na voorbeeld 2 staat uitgelegd.

Voorbeeld 1
Driehoek waarvan twee zijden gegeven zijn, 33 en 29 cm. De hoogtelijn vanuit één hoekpunt is zelf 20 lang en snijdt de zijde van 33 in stukjes van 12 en 21
Neem als basis de zijde van 21 + 12 = 33 cm.
Dan is de hoogte de stippellijn van 20 cm.
Oppervlakte = 12 × 33 × 20 = 330 cm2

Voorbeeld 2
Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
Stomphoekige driehoek ABC met AB=7, BC=13, BD(het verlengde van AC)=5 en de hoogtelijn vanuit C op AB in het punt D snijdt
De basis is AB en de bijbehorende hoogte is CD.
Die laatste is niet gegeven en moeten we berekenen met de stelling van Pythagoras.

zijdekwadraat
BD = 5  25 
CD = ?144+  
BC = 13169

 CD = wortel 144 = 12
 Oppervlakte ABC = AB × CD : 2 = 7 × 12 : 2 = 42


Formule van Heron

Als je alleen de drie zijden weet, kan je de formule van Heron gebruiken.
Deze formule wordt ook wel eens de s-formule of de formule van Hero genoemd.
S staat voor de semiperimeter: 'halve omtrek'.

Oppervlakte = wortel(S(S-a)(s-b)(s-c))
Hier is S = a + b + c2 en zijn a, b en c de drie zijden van de driehoek.

Voorbeeld 3
Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
driehoek ABC met AB=20 cm, BC=32 cm en AC=16 cm
Bereken eerst de semiperimeter.
S = 20 + 32 + 162 = 34
Gebruik daarna de formule van Heron.
Oppervlakte ABC = wortel(34(34-20)(34-32)(32-16)) ≈ 130,9 cm2


Naar boven