Vergelijkingen » Exponentiële vergelijkingen

Inhoud

1. Wat is een exponentiële vergelijking?
2. Oplossen met behulp van de bordjesmethode
3. Oplossen met behulp van logaritmes
4. Voorbeelden voor gevorderden

1. Wat is een exponentiële vergelijking?

Als in een vergelijking de onbekende zich bevindt in de exponent van een macht, is er sprake van een expontiële vergelijking.

Voorbeelden zijn

7 · 3^x = 567
3^2x – 4 = 27

2. Oplossen met behulp van de bordjesmethode

Niet iedereen zal dit waarschijnlijk de bordjesmethode noemen maar hier doen we dat toch maar even wel. Kijk eventueel even naar de theorie over de bordjesmethode.

Het werkt als volgt. Je schrijft het rechterlid van de vergelijking als een macht met hetzelfde grondtal als het linkerlid van de vergelijking.
Daarna moeten de twee exponenten dus gelijk aan elkaar zijn.
Je legt het bordje op de exponent in het linkerlid. Deze moet gelijk zijn aan de exponent in het rechterlid.

Voorbeelden

5^3x – 2	= 9765625
5^3x – 2	= 5¹⁰
(bordje op 3`x` – 2)
3`x` – 2	= 10
3`x`	= 12
`x`	= 4

2^2x + 1	= 2048
2^2x + 1	= 2¹¹
(bordje op 2`x` + 1)
2`x` + 1	= 11
2`x`	= 10
`x`	= 5

5 · 3^1,5x + 2	= 1215
3^1,5x + 2	= 243
3^1,5x + 2	= 3⁵
(bordje op 1,5`x` + 2)
1,5`x` + 2	= 5
1,5`x`	= 3
`x`	= 2

3. Oplossen met behulp van logaritmes

Je kunt niet altijd het rechterlid schrijven als een macht.
In zo'n geval kan je de bordjesmethode niet gebruiken.

In dat geval moet je logaritmes gebruiken.
Dat werkt als volgt.
Stel je hebt de vergelijking: a^x = q
Je kan dan x berekenen met een logaritme (log).
Er geldt: x = ^alog(q).

Rekenmachine

Op moderne rekenmachines kan je dit waarschijnlijk ook zo invullen.
Op oudere rekenmachines moet je ^alog(q) invullen als log(q) : log(a)

Soms wordt ^alog(q) ook wel eens geschreven als log_a(q)

Voorbeelden

3^x	= 1000
`x`	= ³`log`(1000)
`x`	≈ 6,29

3 + 5^x	= 2500
5^x	= 2497
`x`	= ⁵`log`(2497)
`x`	≈ 4,86

2^x + 5	= 700
`x` + 5	= ²`log`(700)
`x`	= ²`log`(700) – 5
`x`	≈ 4,45

Op de rekenmachine:
Hoe dit er op de rekenmachine uitziet. In het eerste voorbeeld krijg je log(1000)/log(3)

Kijk bij logaritmen voor meer informatie over logaritmen.

4. Voorbeelden voor gevorderden

Voorbeeld 1

3^2x – 1	= 19
3^2x – 1	= 13² · 3^0,5
3^2x – 1	= 3^–2 · 3^0,5
3^2x – 1	= 3^–1,5
2`x` – 1	= –1,5
2`x`	= –0,5
`x`	= –0,25

Voorbeeld 2

3 · (12)^x + 7	= 55
3 · (12)^x	= 48
(12)^x	= 16
(2^–1)^x	= 2⁴
2^–x	= 2⁴
–`x`	= 4
`x`	= –4

Voorbeeld 3

3^x	= 9^x – 1
3^x	= (3²)^x – 1
3^x	= 3^2(x – 1)
3^x	= 3^2x – 2
`x`	= 2`x` – 2
–`x`	= –2
`x`	= 2

Voorbeeld 4

3^x + 2 + 3^x	= 10
3² · 3^x + 3^x	= 10
9 · 3^x + 3^x	= 10
10 · 3^x	= 10
3^x	= 1
3^x	= 3⁰
`x`	= 0

Voorbeeld 5

4^x – 1	= (12)^3x – 1
(2²)^x – 1	= (2^–1)^3x – 1
2^2(x – 1)	= 2^{–(3x – 1)}
2^2x – 2	= 2^–3x + 1
2`x` – 2	= –3`x` + 1
5`x` – 2	= 1
5`x`	= 3
`x`	= 35

Voorbeeld 6

6 · (12)^x + 1	= 2^x
6 · 12^x + 1	= 2^x
Substitueer: `p` = 2^x
6 · 1`p` + 1	= `p`
6 + `p`	= `p`²
–`p`² + `p` + 6	= 0
`p`² – `p` – 6	= 0
(`p` – 3)(`p` + 2)	= 0

`p` = 3 of	`p` = –2
2^x = 3 of	2^x = –2

x = ²log(3)
(2^x = –2 heeft geen oplossingen)

Voorbeeld 7

e^2x – e^x	= 0
e^2x	= e^x
2`x`	= `x`
`x`	= 0

Voorbeeld 8

3`x` · e^x	= 12e^x
3`x` · e^x – 12e^x	= 0
e^x(3`x` – 12)	= 0

e^x = 0 of 3x – 12 = 0
e^x = 0 o f – 123x = 12
e^x = 0 o f – 123x = 4
(e^x = 0 heeft geen oplossingen)

Naar boven