Formules, grafieken en verbanden » Exponentieel verband  

Inhoud

1. Algemeen
2. Formule
3. Tabel
4. Grafiek
5. Formule opstellen

1. Algemeen

Een exponentieel verband hoort bij een exponentiële formule.
Deze formules gebruik je voor het rekenen met procenten op procenten en met groeifactoren.

2. Formule

De formules die horen bij een exponentieel verband zijn van de vorm h = b · g^t.
De variabele in de formule is een exponent. Meestal wordt een vermenigvuldigingspunt gebruikt in plaats van een keerteken.
Voorbeelden zijn y = 50 · 0,73^x en h = 12 · 1,03^t.

3. Tabel

Hieronder een voorbeeld van een tabel die bij een exponentieel verband hoort.

t	0		1		2		3		4		5
h	600		630		661,5		694,575		729,303...		765,769...
		×1,05		×1,05		×1,05		×1,05		×1,05

Bij een constante toename boven in de tabel, moet je onderin altijd met hetzelfde getal kunnen vermenigvuldigen.
Ook als de factoren bij de pijlen iedere keer net iets anders zijn, maar allemaal rond hetzelfde getal liggen, heb je te maken met een exponentieel verband. De afwijking komt dan door afrondingen in de tabel.

4. Grafiek

De grafiek die bij een exponentieel verband hoort is een steeds sneller stijgende lijn (groeifactor groter dan 1) of een steeds langzamer dalende lijn (groeifactor tussen 0 en 1).

5. Formule opstellen

De formule is altijd van de vorm h = b · g^t
Hierin is b de beginhoeveelheid (t = 0) en g de groeifactor.
Zie de tabel hieronder voor een aantal voorbeelden van groeifactoren.

toe- of afname in %	groeifactor
toename 5%	1,05
toename 8,5%	1,085
afname 12%	0,88
afname 3,5%	0,965

Voorbeeld 1
Op een spaarrekening staat 1500 euro en je krijgt ieder jaar 3,5% rente.
De formule waarmee je het bedrag b op de rekening kan berekenen na t jaar is:
b = 1500 · 1,035^t

Voorbeeld 2
Een boom is 8m lang. Ieder jaar groeit deze boom met 6%.
De formule waarmee je de hoogte h van de boom na t jaar kan berekenen is:
h = 8 · 1,06^t

Voorbeeld 3
Een auto kost nieuw 35 000 euro. Ieder jaar wordt deze auto 10% minder waard.
De formule waarmee je de waarde w van de auto na t jaar kan berekenen is:
w = 35 000 · 0,9^t

Voorbeeld 4: Formule maken bij een grafiek
Laten we de rode grafiek hierboven nemen.
We kunnen de punten (0, 3) en (7, 8) aflezen.
Het punt (0, 3) geeft aan dat de beginhoeveelheid 3 is.
Door b = 3 in te vullen in de formule, krijgen we y = 3 · g^x.
Nu gaan we de coördinaten van het andere punt gebruiken om een vergelijking te maken. Door x = 7 en y = 8 in te vullen krijgen we:

8	= 3 · g7
g7	= 8 : 3
g	=  = (8 : 3)17 ≈ 1,15

De formule wordt dus y = 3 · 1,15^x

Voorbeeld 5: Formule maken bij een grafiek
Nu de blauwe grafiek hierboven.
We kunnen de punten (0, 10) en (10, 2) aflezen.
Het punt (0, 10) geeft aan dat de beginhoeveelheid 10 is.
Door b = 10 in te vullen in de formule, krijgen we y = 10 · g^x.
Nu gaan we de coördinaten van het andere punt gebruiken om een vergelijking te maken. Door x = 10 en y = 2 in te vullen krijgen we:

2	= 10 · g10
g10	= 0,2
g	=  = 0,2110 ≈ 0,85

De formule wordt dus y = 10 · 0,85^x