Formules, grafieken en verbanden » Asymptoten

Een asymptoot is een lijn, waar de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt.
In andere woorden nadert de grafiek bij grote waarden van ëën van de variabelen steeds dichter deze lijn.

Horizontale asymptoot

In het geval van een horizontale asymptoot ziet de vergelijking van de asymptoot er als volgt uit: y = ...
Voor het vinden van de horizontale asymptoot kun je hele grote positieve of negatieve getallen in de functie invullen.
De waarde die eruit komt is de waarde waar de functie uiteindelijk naar toe gaat en dus de y-waarde van de asymptoot.

Verticale asymptoot

In het geval van een verticale asymptoot ziet de vergelijking van de asymptoot er als volgt uit: x = ...
Voor het vinden van de verticale asymptoot moet je op zoek naar de waarde van x, waar de functie niet bestaat.
Dit is bij gebroken functies de waarde van x, waarbij de noemer nul is.
Bij logaritmische functies is dit de x-waarde, waarbij de uitdrukking tussen haakjes gelijk is aan 0.

Hieronder volgen een drietal voorbeelden. Voor de duidelijkheid is er bij elk voorbeeld een grafiek gegeven.

Voorbeeld 1
Geef de horizontale en verticale asymptoot van de volgende functie:

Bij het invullen van hele grote positieve of negatieve waarden in de functie gaat de uitkomst richting 3.
De horizontale asymptoot is dan y = 3.
Bij x = 1 is er geen uitkomst, omdat er dan gedeeld zal worden door 0.
De verticale asymptoot is dan x = 1.

Voorbeeld 2
Geef de horizontale asymptoot en het bereik van de volgende functie:

Bij het invullen van hele grote positieve getallen in de functie gaat de uitkomst richting –3. De horizontale asymptoot is dan y = –3.
Het bereik van de functie, alle mogelijke y-waarden, is alles groter dan –3.
In formele notatie is het bereik: y > –3

Voorbeeld 3
Geef de verticale asymptoot van de volgende functie:

Voor het vinden van de verticale asymptoot moet de volgende vergelijking worden opgelost: 2x + 10 = 0.
De waarde van x, die hier uitkomt is –5.
De verticale asymptoot is dan x = –5.